Wednesday, February 26, 2014

珠璣科學之串珠萬花環 (Bead kaleidocycle)

Dr. Tsoo and I wrote an article on the bead kaleidocycle for the local magazine, Science Monthly (科學月刊). But for unknown reasons, this article never came out. I decided to put the full paper in my blog anyway. With these figures, I believe, even without the knowledge of Chinese, one can easily make your own kaleidocycle with beads.


珠璣科學之串珠萬花環

臺灣大學化學系 金必耀
國家高速網路與計算中心 左家靜

串珠是一種傳統藝術與工藝的形式,其基本步驟是將尼龍線反覆地穿過含有孔洞的珠子,常用來製作各種珠寶、裝飾品、吊飾品、雕塑等二維或是三維結構。在2012年,本文作者曾在「科學月刊」寫過「珠璣科學」系列文章,簡介有關串珠在分子模型的製作與應用,我們談到正多面體、碳六十、碳七十、碳八十等芙類分子的串珠模型,並且用烷類分子來解釋串珠模型與化學鍵價球模型的關連。當然,除了芙類分子與簡單的烷類分子之外,串珠還可以應用到具有各種特殊拓樸構造的單層石墨,以及各種晶體的三度空間結構的模型建構上,詳細的應用可以參考筆者的網頁http://thebeadedmolecules.blogspot.com/。

本文將離開分子等微觀的奈米世界,介紹串珠模型在數學玩具的一個有趣的應用,我們將使用長管串珠,製作一種稱為萬花環的數學玩具。萬花環是一種由偶數個四面體所組成的環形甜甜圈結構,其中的每一個四面體用相反位置、彼此垂直的兩個稜邊分別與前後兩個四面體相連。這種數學玩具由斯托克(R. M. Stalker)在1935年所發明1(如圖一所示),很快地就在趣味數學(recreation mathematics)的愛好者中流傳起來2,3,不少人也對萬花環做過詳細的幾何與對稱分析4,5。萬花環有趣的地方是你可以將環的內側連續不斷地扭轉到外側,讀者可以在網際網路的許多地方找到萬花環的動態模擬,例如Markus Engel的網址http://www.kaleidocycles.de/anim.shtml。注視著環的上面,四面體的四個面就不斷地會被轉到你的眼前,若面上同時繪有圖案,更讓人會有如萬花筒一般地目不暇給的感覺,因此設計師Wallace Walker將這種結構稱為萬花環,英文為Kaleidocycle,由三個希臘字源所組成:kálos [美麗的]、 eîdos [形狀]、kyklos [環]。另外W. Walker與數學家Doris Schattschneider一起著有「M.C. Escher Kaleidocycles」一書,將荷蘭藝術家埃舍爾(M.C. Escher)的圖案與萬花環結合,產生驚人的視覺效果。

通常製作萬花環的方式以稍硬紙張為主,先在一張紙上畫出如圖一中所示,由三角形組成的平面圖,繪製上自己喜愛的圖案,將其剪下,然後再以適當方式摺出六個等腰四面體,然後用膠水連結起來,便可得到一個由六個四面體所組成的萬花環。

圖一,發明家斯托克在1935年的專利「Advertising medium or toy」(US Patent 1,997,022),此萬花環含有六個等腰四面體,上三圖是從三個不同角度的透視圖,下圖是此萬花環的平面展開圖,圖中組成的三角形是等腰三角形,所做出來的四面體為等腰四面體。

一個由N個正四面體所組成的萬花環,其中的N必須是偶數,才能結成一個可平躺在平面上的環,每個四面體與相鄰的四面體共用一個稜邊,所以共有2N個頂點、5N個邊、與4N個三角形面。萬花環上的所有頂點與三角面是全等的,但是稜邊可分成兩類,連接兩四面體的邊共有N個(A類),而其它完全屬於某一個四面體的邊則有4N個(B類)。本文將專注在由正四面體所連成的萬花環,在這種情形,N必須大於或是等於6才能連成一個環。在N=8或是更大的情形,萬花環才可以連續地從裡面轉到外面,重複不斷。而在N=6的情形,正四面體只能在一定角度範圍內轉動,一直到相鄰兩個四面體相碰為止。如果將正四面體中的正三角形變成適當的等腰三角形,而且讓等腰三角形的腰底比滿足一定比值(如圖一所示的情形),也是可以讓萬花環能自由旋轉,而且相鄰的四面體在水平時,正好彼此相切。

除了紙張,我們也可以利用長管串珠,簡稱管珠,輕易地製作出由多個四面體,以稜邊相互連結而成的萬花環,這種串珠萬花環巧妙地利用四面體管珠骨架結構本身的堅硬度,與相鄰兩個四面體的兩面角可自由旋轉的特性,製作出來的串珠模型具有精巧、優美與耐用等好處。由於網路上已經有大量有關於萬花環的製作,以及這種動態幾何結構的數學分析4,5,讀者可用谷歌搜尋引擎輕易找到,所以本文將僅著重於利用長管串珠製作這種玩具的程序,省略關於這種萬花環的幾何分析與長管串珠模型結構力學的討論。

製作串珠萬花環的基本串珠技巧是「八字編」,本文作者已在2012年1月的「科學月刊」中有簡單的介紹。由於最小且能連續轉動的萬花環含有八個正四面體,所以我們將以八個正四面體所組成的萬花環為對象,有多種方法可將這八個正四面體彼此相連成一個環,我們將介紹的是一筆劃的方式,用32步驟,每個步驟製作一個三角形,每四個步驟產生一個正四面體,所以每一個三角面會被經歷一次,且僅有一次,此時漁線(尼龍線)會經歷屬於A類的稜邊四次,而經過B類的稜邊兩次。所以漁線的粗細必須適當,才能讓它穿過A類的長管串珠至少四次。太細的線,會導致所得的串珠萬花環太軟;而太粗的線,會使得我們做不下去,半途卡住。作者所採用的長管珠是三公分長的捷克生產的玻璃管珠,其孔洞可以讓0.4mm的漁線恰好通過四次,若是第一次嘗試,不妨採用0.3mm的漁線。玻璃管珠最大的缺點是不耐摔,但是只要小心操作,最後成品也相當精美結實。另外,這種玻璃長管珠並不難尋得,例如,在台北市延平北路與長安西路一帶的店家即可尋找到。

I. 正四面體串珠模型的製作(圖二): 製作正四面體共需六個管珠,代表六個邊,按八字編製作共有四個步驟,代表四個面,每一步驟,製作一個三角面。用圖二的四面體平面圖(Schlegel圖)表示,程序如下:

1. 選取約四米長的漁線,加入三個三公分長的管珠,調整管珠位置,使其置中。交叉成環,得到第一個三角形。
2. 從漁線一端(藍色實線),加入兩個管珠。然後用漁線的另一端(紅色虛線),逆向穿過最後一個管珠(交叉成環),形成第二個三角形。
3. 先將漁線的一端(藍色實線)穿過管珠,然後再加入一個管珠,交叉成環形成第三個三角形。
4. 目前似乎正四面體已經成形,但是我們還必須完成第四個三角形,所有的管珠都已經在正四面體上,只需進行穿孔即可,讀者應該檢視應該穿過哪幾個管珠。
5. 完成後,漁線應該穿過每個管珠兩次,而且僅有兩次。
 注意事項:完成一個正四面體時,應該檢視是否每個正三角形都被漁線緊密的拉在一起,如果有任何一個三角形有些鬆軟,試著調整漁線,使得整個結構被漁線緊密的拉在一起。


圖二、正四面體的Schlegel圖(左)與長管串珠正四面體(右)。圖右中的六個黑色的粗直線代表正四面體的四個邊,也是管珠所在的位置,藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端,用八字編織法所經歷的路程。

檢視正四面體的結構,讀者不難發現完成後的結構非常地堅硬,這可以從正四面體的骨架結構理解,正四面體有四個頂點與六個邊,稜邊由長管串珠所表示,頂點則是幾個長管串珠交會之處,環繞在一個頂點旁的長管是可以任意改變角度,這可以從製作過程中得知,在還沒有完成第四個三角形時,整個骨架相對柔軟,但一旦第四個三角形做出來,整個骨架就變得非常堅硬,正四面體不再有自己內部變化的自由度。十九世紀的大物理學家馬克思威爾(J. C. Maxwell)曾經研究過這種桁架(truss)問題6,並且提出了一個計數方法,可以決定這種骨架結構有多少內部自由度,也就是這種桁架結構是否堅硬,現在稱為馬克思威爾計數規則(Maxwell Counting Rule)。以正四面體為例,每一個頂點有三個移動自由度,所以四個頂點共有十二個自由度,扣除整個四面體三個移動與三個轉動自由度,剩下六個內部的自由度,但是六個稜邊代表六個限制,扣除後,正四面體的內部自由度為零,也就是說,正四面體的骨架結構是堅硬的。讀者不妨用馬克思威爾計數規則檢視其他五個正多面體的骨架結構,哪些會是硬的,而哪些會是軟的,會有內部形變的自由度。

II. 以稜邊相連的兩個正四面體的製作(圖三):

接下來,我們需要製作第二個正四面體,且與第一個正四面體共用一個稜邊,或是一個管珠。
1. 首先製作第一個與前一個正四面體相連的三角形。先將漁線兩端在前一個正四面體的最後一個稜邊交叉,這個邊也將是第一個與第二個正四面體共用的邊,此時漁線第三次穿過這個稜邊(見圖一)。在漁線一端(藍色實線)加入兩個管珠,再用漁線的另一端(紅色虛線)逆向穿過最後加入的珠子(交叉成環),形成第二個正四面體的第一個三角形。
2. 使用圖中所示紅線虛線的一端,加入兩個管珠,再用藍色實線的一端逆向穿過最後加入的珠子(交叉成環),形成第二個正四面體的第二個三角形。
3. 將紅色虛線的一端穿過共用的管珠,然後再加入一個管珠,用漁線另一端(藍色實線)逆向穿過此管珠(交叉成環),形成第三個三角形,注意此三角形在第二個正四面體的下側,並沒有顯示在圖四中。
4. 製作第四個三角形則只需穿孔,無需加珠,讀者應該很容易發現哪幾個管珠屬於第四個三角形,要注意的是交叉成環的珠子,必須是在第一個珠子不相連的對位珠子。


 注意事項:根據實作的經驗,初學者常會將第II.4步中交叉成環的交叉管珠位置,從對位(A類管珠)誤置於臨位(B類管珠),交叉成環的管珠位置會影響正四面體的走向,所以這一點非常重要。
應用上述的計數規則到圖三中的雙正四面體,六個頂點共有十八個自由度,扣除平移與旋轉的六個自由度,剩下十二個自由度,共有十一邊,所以最後還剩下一個自由度,沿著這個自由度方向進行無限小的運動,並沒有恢復力,因此通常稱此方向為零頻率模(zero-frequency mode),或是軟模(soft mode),在共稜邊的雙四面體結構情形,不難發現零頻率模這就對應到兩個四面體間的雙面角變化,因此很容易讓雙四面體沿著這個方向產生形變。
接下來,用同樣方法,沿著對位方向不斷的連結新的正四面體,一直到第七個正四面體為止,第八個是最後一個單元,必須與第一個正四面體供一個稜邊,所以需要格外的注意,才能正確連結第八與第一個正四面體。

圖三、兩個共用一個邊的正四面體與串珠模型。右邊的第二個正四面給出編織時,兩端線頭所走的路徑。

III. 最後一個正四面體(圖四):

1. 首先在漁線一端(紅色虛線)加入兩個管珠,再用漁線另一端(藍色實線)逆向穿過最後一個管珠(交叉成環),得到第一個三角形 。
2. 然後將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠,再加入一個管珠(線段 ),兩線頭就在最後的這個管珠交叉成環,得到三角形 。
3. 接著將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠,再加入一個管珠(線段 ),就兩線頭就在 的這個管珠交叉成環,得到三角形 。
4. 最後,再將漁線穿過位在 與 兩線段的兩個管珠,交叉成環,便完成最後的三角形 。


圖四、第八個正四面體與相鄰的第一與第八個正四面體相關圖。圖中間部分代表第八個正四面體,第七及第一個正四面體與中間的第八個正四面體分別共用線段 與 ,也就是說這兩個共用稜邊的管珠(A類)已經做好,而位在正四面體上的其它四條稜邊 、 、 、 的管珠(B類管珠),正是在這一步要串上去的。藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端所走的路徑,圖左與圖右則分別代表前兩個與後兩個三角形的路徑。 與 彼此垂直,並無相交,所以用折線表示線段 。

兩個方式收尾:

1. 在適當的地方,將兩線頭打結,然後剪去剩餘的線頭;
2. 將剩餘的線頭,反覆地再穿入鄰近的管珠,直到最後無法再穿孔為止,然後剪去剩餘的線頭。這樣便大功告成,你就擁有你的串珠萬花環了。

讀者可試著將正四面體由內往外撥動,整個萬花環應該可以無阻礙地轉動,這個轉動方向對應到整個結構中多個零頻率模中的一個,由於結構的特殊對稱,直接用上述的規則計算萬花環零頻率模的數目,會有重複計數的問題。完整地將群論的方法有系統地處理重複計數問題,在過去十餘年才由英國劍橋大學機械系的S. Guest與Sussex大學化學系的P. W. Fowler兩位學者所完成,有興趣的讀者可以參考他們所發表的「A symmetry analysis of mechanisms in rotating rings of tetrahedra」一文4,這裡的正四面體的旋轉環(the rotating rings of tetrahedra)是萬花環的原始名稱。


圖五、串珠萬花環。含36個長度為3cm的長管玻璃珠,使用長約4公尺0.4mm的漁線。


致謝: 本文作者感謝張錦惠博士介紹這種捷克生產的玻璃管珠。本文作者在2012年八月的一次數學教育研討會中,從臺灣清華大學數學系全仁重的講演中,得知這種有趣的數學結構,在此致謝。

1. Stalker, R. M. 1933 Advertising medium or toy. US Patent 1,997,022, filed 27 April 1933 and issued 9 April 1935.
2. Ball, W. W. Rouse 1939 Mathematical recreations and essays, 11th edn. London: Macmillan. Revised and extended by Coxeter, H. S. M.
3. Cundy, H. M.; Rollett, A. R. 1981 Mathematical models, 3rd edn. Diss: Tarquin Publications.
4. Fowler, P. W.; Guest, S. Proc. R. Soc. A 461(2058), 1829-1846, 2005.
5. 全仁重, http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/ATCM%202012/Maximal%20Twistable%20Tetrahedral%20Torus/
6. Maxwell, J.C. Philosophical Magazine 27, 294-299, 1864.